Question

18．各项为正数的等差数列{a_n}满足a₂•a₆=21，a₃+a₅=10．又数列{lgb_n}的前n项和是S_n=n（n+1）lg3-$\frac{1}{2}$n（n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{b_n}是等比数列；
（3）设c_n=a_nb_n，试求数列{c_n}最大项．

Answer 1

分析 （1）通过等差数列中下标和相等两项和相等的性质计算可知a₂=3、a₆=7，进而计算即得结论；
（2）通过S_n=n（n+1）lg3-$\frac{1}{2}$n（n-1）与S_n-1=n（n-1）lg3-$\frac{1}{2}$（n-2）（n-1）作差，结合对数的性质可知数列{b_n}是首项为9、公比为$\frac{9}{10}$的等比数列；
（3）通过（1）、（2）可知通项公式c_n=9（n+1）×$（\frac{9}{10}）^{n-1}$，利用c_k≥c_k+1、c_k≥c_k-1，进而解不等式计算即得结论．

解答 （1）解：∵数列{a_n}为等差数列，
∴a₃+a₅=a₂+a₆=10，
又∵a₂•a₆=21，
∴a₂=3、a₆=7或a₂=7、a₆=3（舍），
∴公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{2}}{6-2}$=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+n-2=n+1；
（2）证明：∵S_n=n（n+1）lg3-$\frac{1}{2}$n（n-1），
∴当n≥2时，S_n-1=n（n-1）lg3-$\frac{1}{2}$（n-2）（n-1），
两式相减得：lgb_n=2nlg3-（n-1）=lg$\frac{{9}^{n}}{1{0}^{n-1}}$，
∴b_n=$\frac{{9}^{n}}{1{0}^{n-1}}$=9×$（\frac{9}{10}）^{n-1}$（n≥2），
又∵lgb₁=S₁=2lg3=lg9，即b₁=9满足上式，
∴数列{b_n}是首项为9、公比为$\frac{9}{10}$的等比数列；
（3）解：由（1）、（2）可知c_n=a_nb_n=9（n+1）×$（\frac{9}{10}）^{n-1}$，
设数列{c_n}第k项最大，则有：c_k≥c_k+1、且c_k≥c_k-1，
∴9（k+1）×$（\frac{9}{10}）^{k-1}$≥9（k+2）×$（\frac{9}{10}）^{k}$，9（k+1）×$（\frac{9}{10}）^{k-1}$≥9k×$（{\frac{9}{10}）}^{k-2}$，
整理得：10（k+1）≥9（k+2），10k≤9（k+1），
解得：8≤k≤9，
故数列{c_n}最大项为c₈或c₉．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．