Question

10．数列{a_n}中，a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}•{a}_{n}}{{2}^{n+1}+{a}_{n}}$，a₁=2，求a_n．

Answer 1

分析 化简可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}+{a}_{n}}{{2}^{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，从而可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，从而利用累加法求和即可．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}•{a}_{n}}{{2}^{n+1}+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}+{a}_{n}}{{2}^{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
利用累加法可得，
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
又∵a₁=2，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断及转化思想的应用，同时考查了整体思想与构造法的应用．