Question

20．已知：如图，平面α、β满足α∥β，A、C∈α，B、D∈β，E∈AB，F∈CD，AC与BD异面，且$\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FD}$．求证：EF∥β

Answer 1

分析 连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG；结合AE：EB=CF：FD可得EG∥β，FG∥α；进而得到平面EFG∥β即可证得结论．

解答 （Ⅰ）证明：连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG
∵EG∥BD，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GD}$．
又∵$\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FD}$，∴$\frac{AG}{GD}=\frac{CF}{FD}$．
∴FG∥AC，
∴FG∥α，又α∥β，
∴FG∥β；
又因为EG∩FG=G．
∴平面EFG∥β，
而EF?平面EFG；
∴EF∥β．

点评 本题考查了线面平行的判定，当理由判定定理不好证明时可转而证明面面平行，利用面面平行的性质得出线面平行．