Question

12．已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，那么${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展开式中的常数项为（　　）

• A． -15
• B． 15
• C． 20
• D． -20

Answer 1

分析 由条件求得n=6，再利用二项展开式的通项公式，求得${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展开式中的常数项．

解答 解：∵（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
∴令x=1，可得2+2²+2³+…+2ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，即 $\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$=126，2ⁿ⁺¹=128，∴n=6．
根据 ${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$=${（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{6}$ 的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•x^3-r，
令3-r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为-${C}_{6}^{3}$=-20，
故选：D．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．