Question

7．设p、q均为实数，若sinα、cosα分别是关于x的方程x²+px+q=0的两个实根，则p+q的最小值为-1．

Answer 1

分析 利用韦达定理，结合同角三角函数平方关系，可得：q=$\frac{{p}^{2}-1}{2}$，从而可求q+p=$\frac{1}{2}$（p+1）²-1，即可得出结论．

解答 解：∵sinα与cosα是关于x的方程x²+px+q=0的两根，
∴sinα+cosα=-p，sinαcosα=q，
∴（sinα+cosα）²=（-p）²，
即1+2sinαcosα=p²，可得：q=$\frac{{p}^{2}-1}{2}$，
∴q+p=$\frac{{p}^{2}-1}{2}$+p=$\frac{1}{2}$p²+p-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（p+1）²-1，
∴当p=-1时，p+q的最小值为-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查三角函数的求值，考查韦达定理的运用，二次函数的图象和性质，考查学生的计算能力，属于中档题．