Question

16．函数f（x）=x²+bsinx+cosx+c，x∈[-π，π]为偶函数，且f（x）的最小值为0，则f（x）值域中的最大整数为7．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性求出b=0，然后求函数的导数判断函数的单调性，利用函数的最小值求出c，利用最大值求出f（x）的最大值即可．

解答 解：∵f（x）=x²+bsinx+cosx+c，x∈[-π，π]为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即x²-bsinx+cosx+c=x²+bsinx+cosx+c，
则-b=b，则b=0，
即f（x）=x²+cosx+c，x∈[-π，π]为偶函数，
函数的导数f′（x）=2x-sinx=x+x-sinx，
当x＞0时，x＞sinx，则f′（x）=2x-sinx=x+x-sinx＞0，
即函数f（x）在[0，π]上是增函数，
∴函数的最小值为f（0）=cos0+c=c+1=0，
则c=-1，则函数的最大值为f（π）=f（-π）=π²+cosπ-1=π²-2≈7.87，
∴f（x）值域中的最大整数为7，
故答案为：7

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求函数的导数，判断函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．