Question

2．已知数列{an}的前n项和S_n满足关系式：
S_n=（$\frac{1+{a}_{n}}{2}$）²且a_n＞0．
（1）写出S_n与S_n-1（n≥2）的递推关系式，并求出S_n关于n的表达式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ•S_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=（$\frac{1+{a}_{n}}{2}$）²且a_n＞0．可得S_n＞0．当n=1时，${a}_{1}=（\frac{1+{a}_{1}}{2}）^{2}$，解得a₁．n≥2时，2$\sqrt{{S}_{n}}$=S_n-S_n-1+1，可得：$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=（-1）ⁿ•S_n=（-1）ⁿ•n²，对n分类讨论，利用“分组求和”方法、等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=（$\frac{1+{a}_{n}}{2}$）²且a_n＞0．∴S_n＞0．
∴当n=1时，${a}_{1}=（\frac{1+{a}_{1}}{2}）^{2}$，解得a₁=1．
n≥2时，2$\sqrt{{S}_{n}}$=S_n-S_n-1+1，可得：$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．
∴数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，
可得S_n=n²．
（2）b_n=（-1）ⁿ•S_n=（-1）ⁿ•n²，
∴n=2k（k∈N^*）时，数列{b_n}的前n项和T_n=T_2k=（2²-1²）+（4²-3²）+…+[n²-（n-1）²]=（2+1）+（4+3）+…+[n+（n-1）]=$\frac{n（n+1）}{2}$．
n=2k-1（k∈N^*）时，数列{b_n}的前n项和T_n=T_2k-1=T_2k-b_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$-（n+1）²=$\frac{-{n}^{2}-n}{2}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+1）}{2}，n=2k}\\{\frac{-{n}^{2}-n}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系、分类讨论、“分组求和”方法、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．