Question

已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.

（1）求椭圆的方程;

（2）若线段中点的横坐标为,求直线的方程;

（3）若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.

 

Answer 1

（1）;（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论;（3）涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；直线与圆锥曲线相交所得中的弦问题，就解析几何的内容之一，一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在的直线方程；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（4）弦长为定值时，弦中点的坐标问题，其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法.

试题解析：解:（1）依题意，有，

即， ，又

解得

则椭圆方程为

（2）由（1）知，所以设过椭圆的右焦点的动直线的方程为

将其代入中得，，

，设,,

则 ，∴，

因为中点的横坐标为，所以，解得

所以，直线的方程

（3）由（2）知,

所以的中点为

所以

直线的方程为, 由,得,

则, 所以

所以

又因为,所以.所以.

所以的取值范围是

考点：1、求椭圆的标准方程；2、弦中点所在的直线方程；3、弦中点的问题.