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    【题目】为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+x的值评定学生的数学核心素养，若,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若,则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：

    (1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；

    (2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为X,求随机变量X的分布列及其数学期望。

    【答案】（1）；（2）见解析

    【解析】

    （1）由表格结合条件概率公式即可得到结果；

    （2）X的所有可能取值为0,1，2，3，求出相应的概率值，带入期望公式得到结果.

    x

    2

    3

    3

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    y

    2

    2

    3

    2

    3

    3

    2

    3

    1

    2

    z

    3

    3

    3

    2

    2

    3

    2

    3

    1

    2

    w

    7

    8

    9

    5

    7

    8

    6

    8

    4

    6

    （1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.

    记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.

    则

    (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为:，非一级的学生为余下4人

    的所有可能取值为0,1，2，3.

    ，

    ，

    随机变量的分布列为：

    0

    1

    2

    3

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    【题目】如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，.

    (1) 求证：；

    (2) 求直线与平面所成角的正弦值；

    (3) 线段上是否存在点，使平面若存在，求出；若不存在，说明理由．

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    【题目】为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:

    喜好体育运动

    不喜好体育运动

    合计

    男生

    5

    女生

    10

    合计

    50

    已知按喜好体育运动与否,采用分层抽样法抽取容量为10的样本,则抽到喜好体育运动的人数为6.

    （1）请将上面的列联表补充完整;

    （2）能否在犯错概率不超过的前提下认为喜好体育运动与性别有关?说明你的理由.

    (参考公式: )

    临界值表

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    【题目】某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在中的学生有1名，若从成绩在和两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在中的概率为（ ）

    A. B. C. D.

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    【题目】已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题方程表示双曲线.

    （1）若命题是真命题，求实数的范围；

    （2）若命题“或”为真命题，“且”是假命题，求实数的范围.

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    【题目】某校有、、、四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.

    甲说：“、同时获奖.”

    乙说：“、不可能同时获奖.”

    丙说：“获奖.”

    丁说：“、至少一件获奖”

    如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ）

    A. 作品与作品B. 作品与作品C. 作品与作品D. 作品与作品

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    【题目】如果对定义在R上的函数,对任意两个不相等的实数都有

    ① ② ③ ④以上函数是“”的所有序号为_______________.

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    【题目】已知函数．

    （1）求的单调区间；

    （2）当时，恒成立，求的取值范围．

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    【题目】蚌埠市某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个科组各选出名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是，乙组学生成绩的中位数是．

    （1）求和的值；

    （2）计算甲组位学生成绩的方差；

    （3）从成绩在分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率．

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