Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A(-1，0)、B(1，0)，平

面内两点G、M同时满足以下条件:①，②，③.

(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；

(2)过点P(2，0)的直线l与(1)中的轨迹交于点E、F，求的取值范围．

Answer 1

解：(1)设C(x，y)，G(x₀，y₀)，M(x_M，y_M)，

∵，M在线段AB的中垂线上，

∴x_M ==0, ∵∴y_M=y₀,

∵.

∴(-1-x₀，-y₀)+(1-x₀，-y₀)+(x-x₀，y-y₀)=(0，0)，

∴x₀=，y₀=，

∴y_M=y₀=,∵，∴x²+=1(y≠0)为顶点C的轨迹方程．

(2)设l：y=k(x-2)，代入顶点C的轨迹方程得：

(k²+3)x²-4k²x+4k²-3=0

设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，

∵△＞0，∴0＜k²＜1，∵P、E、F三点共线，

∴

=

∴=(1+k²)|4-2(x₁+x₂)+x₁x₂|(10分)

=,

∴∈(3,).