Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间和最小值；
（2）若函数F（x）=在[1，e]上是最小值为，求a的值；
（3）当b＞0时，求证：（其中e=2.718 28…是自然对数的底数）．

Answer 1

（1）解：求导函数可得：f'（x）=lnx+1（x＞0）
令f'（x）≥0，即lnx≥﹣1，∴x；
令f'（x）≤0，即lnx≤﹣1，∴0＜x；
∴f（x）单调递增区间为[，+∞），单调递减区间为（0，]
∴f（x）_min=f（）=﹣
（2）解：F（x）==，求导函数可得
F'（x）=
当a≥0时，F'（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）min=﹣a=，
∴a=﹣[0，+∞），舍去；
当a＜0时，F（x）在（0，﹣a）单调递减，在（﹣a，+∞）单调递增
若a∈（﹣1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）_min=﹣a=，
∴a=﹣（﹣1，0），舍去；
若a∈[﹣e，﹣1]，F（x）在（1，﹣a）单调递减，在（﹣a，e）单调递增，
∴F（x）_min=F（﹣a）=ln（﹣a）+1=，
∴a=﹣∈[﹣e，﹣1]；
若a∈（﹣∞，﹣1），F（x）在[1，e]上单调递减，
∴F（x）_min=F（e）=﹣（﹣∞，﹣1），舍去；
综上所述：a=﹣
（3）证明：由（1）可知当b＞0时，有f（b）≥f（x）_min=f（）=﹣，
∴，即．
∴