Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，E、F分别为A₁C₁、BC的中点．
（1）求证：AB⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：C₁F∥平面ABE．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）运用线面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；
（2）可通过线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，即可得证．

解答： （1）证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱BB₁垂直于底面ABC，
所以BB₁⊥AB，又AB⊥BC，BB₁∩BC=B，
则有AB⊥平面B₁BCC₁；
（2）证法一、取AB中点G，连接EG，FG，
由于E、F分别为A₁C₁、BC的中点，所以FG∥AC，FG=

1

2

AC，
因为AC∥A₁C₁，且AC=A₁C₁，所以FG∥EC₁，且FG=EC₁，
所以四边形FGEC₁为平行四边形，所以C₁F∥EG，
又因为EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
所以C₁F∥平面ABE；
证法二、取AC中点H，连接FH和C₁H，
因为F，H分别是BC，AC的中点，
所以HF∥AB，HF?平面ABE，AB?ABE，
所以HF∥平面ABE，
又由AE∥C₁H，也可得到C₁H∥平面ABE，
又C₁H∩HF=H，所以平面C₁HF∥平面ABE，
因为C₁F?平面C₁HF，所以C₁F∥平面ABE．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质、线面平行和面面平行的判定和性质的运用，考查推理能力，属于中档题．