Question

已知A，B，C是圆O：x²+y²=1上任意的不同三点，若

OA

=3

OB

+x

OC

，则正实数x的取值范围为（　　）

• A、（0，2）
• B、（2，4）
• C、（1，4）
• D、（2，3）

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由

OA

=3

OB

+x

OC

，利用数量积性质可得

OA

²=（3

OB

+x

OC

）²，展开并利用A，B，C是单位圆O上任意的不同三点，及cosθ的有界性，即可得出正实数x的取值范围．

解答： 解：∵A，B，C是单位圆O上任意的不同三点，若

OA

=3

OB

+x

OC

，
∴

OA

²=（3

OB

+x

OC

）²，
∴

OA

2=9

OB

2+6x

OB

•

OC

+x2

OC

2，化为1=9+x²+6xcos∠BOC．
∵x＞0，
∴cos∠BOC=

-8-x2

6x

，
∵-1＜cos∠BOC＜1，
∴-1＜

-8-x2

6x

＜1，
解得2＜x＜4．
∴正实数x的取值范围为（2，4）．
故B．

点评：本题考查了数量积的性质、余弦函数的有界性、单位向量、不等式的解法，属于中档题．