Question

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（

π

4

+B）•sin（

π

4

-B）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角B的值；
（Ⅱ）利用余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，把数据代入利用不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（

2

2

cosB+

2

2

sinB）（

2

2

cosB-

2

2

sinB），
即sinB=cos²B-sin²B，
由sin²B+cos²B=1得，2sin²B+sinB-1=0，
解得sinB=

1

2

或sinB=-1…（5分）
因为△ABC是锐角三角形，所以B=

π

6

…（7分）
（Ⅱ）由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，
把b=1，B=

π

6

代入可以得到：
1=a2+c2-

3

ac≥(2-

3

)ac，所以ac≤

1

2- 3

=2+

3

 …（10分）
所以S△ABC=

1

2

acsinB=

1

4

ac≤

2+ 3

4

           …（13分）
当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是

2+ 3

4

…（14分）

点评：本题考查两角和与差的正弦公式，余弦定理，平方关系等，以及利用不等式求三角形面积的最大值，这是常考的题型．