Question

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为-

1

4

．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为

3

r．
（1）求圆M的方程；
（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），由已知得

y

x+4

•

y

x-4

=-

1

4

，由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，-2），A（-4，0），线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，由此能求出圆M的方程．
（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意，当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则

|k× r 2 -3+b|

1+k2

=r对任意r＞0恒成立，由此能求出存在两条直线y=3和4x+3y-9=0与动圆M均相切．

解答： 解：（Ⅰ）设 P点的坐标为（x，y），
则k_PA=

y

x+4

，x≠-4，
k_PB=

y

x-4

，x≠4，
因为动点P与A、B连线的斜率之积为-

1

4

，所以

y

x+4

•

y

x-4

=-

1

4

，
化简得：

x2

16

+

y2

4

=1，
所以点P的轨迹方程为

x2

16

+

y2

4

=1（x≠±4）…（6分）
（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，-2），A（-4，0），
所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，…（8分）
设M（a，2a+3）（a＞0），
则⊙M 的方程为（x-a）²+（y-2a-3）²=r²，
因为圆心M到y轴的距离d=a，由r2=d2+(

3 r

2

)2，得：a=

r

2

，…（10分）
所以圆M的方程为(x-

r

2

)2+(y-r-3)2=r2．…（11分）
（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，
当定直线l的斜率不存在时，不合题意，…（12分）
当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，
则

|k× r 2 -3+b|

1+k2

=r对任意r＞0恒成立，
由|k×

r

2

-r-3+b|=r

1+k2

，得：
（

k

2

-1）²r²+（k-2）（b-3）r+（b-3）²=（1+k²）r²，…（14分）
所以

( k 2 -1)2=1+k2 (k-2)(b-3)=0 (b-3)2=0

，解得：

k=0 b=3

或

k=- 4 3 b=3

，
所以存在两条直线y=3和4x+3y-9=0与动圆M均相切．…（16分）

点评：本题考查点P的轨迹方程的求法，考查圆的方程的求法，考查当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．