【题目】已知椭圆的离心率为,且四个顶点构成的四边形的面积是.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线经过点,且不垂直于轴,直线与椭圆交于,两点,为的中点,直线与椭圆交于,两点(是坐标原点),若四边形的面积为,求直线的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)离心率提供与的关系,四个顶点构成的四边形对角线互相垂直,列出等量关系求,的值;
(2)直线经过点,由直线点斜式方程设出直线的方程,并设出直线与椭圆交点、的坐标,联立方程,由韦达定理可表示出的中点的坐标;由中点的坐标可得直线的方程,联立直线的方程与椭圆的方程,利用韦达定理可求,再利用点到直线距离公式可求点、到直线的距离,由四边形的面积为可列出等量关系,最后可求出直线的方程.
解:(1)由题意可得,
解得,,
故椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为,,.
联立,整理得,
则,,
从而,故,
直线的斜率为,所以直线的方程为,
即.
联立,整理得,
则.
设点到直线的距离为,则点到直线的距离也为,
从而.
∵点,在直线的两侧,
∴,
∴,则,
∵,
∴,
则四边形的面积,
∵四边形的面积为,
∴,解得,
故直线的方程为.
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【题目】如图,港口A在港口O的正东100海里处,在北偏东方向有条直线航道OD,航道和正东方向之间有一片以B为圆心,半径为海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险),其中OB=海里,tan∠AOB=,cos∠AOD=,现一艘科考船以海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶,经过2个小时后,一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发,并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.
(1)若快艇立即出发,判断快艇是否有触礁的危险,并说明理由;
(2)在无触礁危险的情况下,若快艇再等x小时出发,求x的最小值.
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【题目】2020年初,我国突发新冠肺炎疫情,疫情期间中小学生“停课不停学”.已知某地区中小学生人数情况如甲图所示,各学段学生在疫情期间“家务劳动”的参与率如乙图所示.为了进一步了解该地区中小学生参与“家务劳动”的情况,现用分层抽样的方法抽取4%小学初中高中学段的学生进行调查,则抽取的样本容量、抽取的高中生家中参与“家务劳动”的人数分别为( )
A.2750,200B.2750,110C.1120,110D.1120,200
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【题目】已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线与曲线的公共点的极坐标;
(2)若点的极坐标为,设曲线与轴相交于点,则在曲线上是否存在点,使得,若存在,求出点的直角坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】为助力湖北新冠疫情后的经济复苏,某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价,用不同的单价在平台试销,得到如下数据:
单价(元/件) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量(万件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)根据以上数据,求关于的线性回归方程;
(2)若该产品成本是4元/件,假设该产品全部卖出,预测把单价定为多少时,工厂获得最大利润?
(参考公式:回归方程,其中)
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【题目】已知椭圆的离心率为,且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过定点的直线交椭圆于不同的两点、,点关于轴的对称点为,试证明:直线与轴的交点为一个定点,且(为原点).
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【题目】《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁,….生数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”,某老年公寓住有20位老人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100),其余19人的年龄依次相差一岁,则年长者的年龄为( )
A.94B.95C.96D.98
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【题目】某科研团队对例新冠肺炎确诊患者的临床特征进行了回顾性分析.其中名吸烟患者中,重症人数为人,重症比例约为;名非吸烟患者中,重症人数为人,重症比例为.
(1)根据以上数据完成列联表;
(2)根据(1)中列联表数据,能否在犯错误的概率不超过的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关?
(3)已知每例重症患者平均治疗费用约为万元,每例轻症患者平均治疗费用约为万元.根据(1)中列联表数据,分别求吸烟患者和非吸烟患者的平均治疗费用.(结果保留两位小数)
附:
≥ | |||
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