Question

已知函数f（x）=x³+3mx²+nx+m²．在x=-1处有极值0；
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=3x²+6mx+n，得方程组

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+m2=0

，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①当m=1，n=3时f′（x）=3（x+1）²≥0恒成立，即x=-1不是f（x）的极值点，舍去．②当m=2，n=9时f′（x）=3（x+1）（x+3），所以f（x）在x=-1处有极值，故m=2，n=9；∴f（x）的减区间是（-3，-1）；增区间是（-∞，-3），（-1，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+6mx+n
∴

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+m2=0

，
解得：

m=1 n=3

，或

m=2 n=9

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
①当m=1，n=3时f′（x）=3（x+1）²≥0恒成立，
即x=-1不是f（x）的极值点，舍去．
②当m=2，n=9时f′（x）=3（x+1）（x+3），
当-3＜x＜-1时，f’（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞-1 或 x＜-3 时，f’（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在x=-1处有极值，故m=2，n=9；
∴f（x）的减区间是（-3，-1）；增区间是（-∞，-3），（-1，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，求函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．