Question

1．如图所示，已知点A（1，0），D（-1，0），点B，C在单位圆O上，且∠BOC=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若点B（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求cos∠AOC的值；
（Ⅱ）设∠AOB=x（0＜x＜$\frac{2π}{3}$），四边形ABCD的周长为y，将y表示成x的函数，并求出y的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数的定义，写出cos∠AOB与sin∠AOB的值，再计算cos∠AOC的值；
（Ⅱ）根据等腰三角形的知识，求出|AB|、|CD|的值，再写出函数y的解析式，求出y的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵B（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴cos∠AOB=$\frac{3}{5}$，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$；
∴cos∠AOC=cos（∠AOB+∠BOC）
=cos∠AOBcos∠BOC-sin∠AOBsin∠BOC
=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$；…（4分）
（Ⅱ） 等腰三角形AOB中，求得|AB|=2|OB|sin$\frac{x}{2}$=2sin$\frac{x}{2}$，
等腰三角形COD中，求得
|CD|=2|OC|sin$\frac{\frac{2π}{3}-x}{2}$=2sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{x}{2}$）；…（8分）
∴y=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|
=3+2sin$\frac{x}{2}$+2sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{x}{2}$）
=3+2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）；…（10分）
由0＜x＜$\frac{2π}{3}$得，当$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
即x=$\frac{π}{3}$时，y取得最大值5．…（12分）

点评 本题考查了三角函数的定义与三角恒等变换的应用问题，也考查了等腰三角形与三角函数最值的应用问题，是综合性题目．