Question

6．给出下列四个命题：
①命题“对任意x∈R，有x²≥0”的否定是“存在x₀∈R，有x₀²≥0”；
②“存在x₀∈R，使得x₀²-x₀＞0”的否定是：“任意x∈R，均有x²-x＜0”；
③任意x∈[-1，2]，x²-2x≤3；
④存在x₀∈R，使得x₀²+$\frac{1}{x_{0}^{2}+1}$≤1．
其中真命题的序号③④（填写所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 写出原命题的否定，可判断①②；
构造函数f（x）=x²-2x并求出x∈[-1，2]时的最大值，可判断③；
举出正例x₀=0，可判断④．

解答 解：①命题“对任意x∈R，有x²≥0”的否定是“存在x₀∈R，有x₀²＜0”，故错误；
②“存在x₀∈R，使得x₀²-x₀＞0”的否定是：“任意x∈R，均有x²-x≤0”，故错误；
③f（x）=x²-2x的图象开口朝上，且以x=1为对称轴，对任意x∈[-1，2]，x²-2x≤f（-1）=3，故正确；
④当x₀=0时，x₀²+$\frac{1}{x_{0}^{2}+1}$=1，故存在x₀∈R，使得x₀²+$\frac{1}{x_{0}^{2}+1}$≤1，故正确．
故真命题的序号为：③④，
故答案为：③④．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，特称命题，二次函数的图象和性质，属于基础题．