Question

11．如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长都为2，点F为棱BC的中点，点E在棱CC₁上，且CC₁=4CE．
（Ⅰ）求证：平面B₁AF⊥面EAF；
（Ⅱ）求点C₁到平面的EAF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由EF⊥B₁F，AF⊥EF，可得EF⊥平面B₁AF，即可证明平面B₁AF⊥面EAF；
（Ⅱ）利用等体积转化，求点C₁到平面的EAF的距离．

解答 证明：（Ⅰ）由题意知，在△B₁BF和△FCE中，$\frac{B{B}_{1}}{BF}=\frac{FC}{EC}$=2，∠B₁BF=∠FCE=$\frac{π}{2}$，
所以△B₁BF∽△FCE，
所以∠EFC=∠B₁BF，
所以EF⊥B₁F．
由直棱柱的性质知：底面ABC⊥侧面BB₁C₁C，F为BC中点，
所以AF⊥BC，
所以AF⊥侧面侧面BB₁C₁C，则AF⊥EF．
因为B₁F∩AF=F，
所以EF⊥平面B₁AF，
所以平面B₁AF⊥平面EAF…（6分）
解：（Ⅱ）设点C₁到平面AEF的距离为d，
因为S_△AEF=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，${S}_{EF{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×1=\frac{3}{4}$
所以由等体积得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{4}×d=\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×\sqrt{3}$
所以d=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$…（12分）

点评 本题考查线面、面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．