Question

16．四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，顶点S在底面的射影是底面正方形的中心O，SO=2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长．

解答 解：由题意知，点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，
此时AC⊥EF，AC⊥GE，则AC⊥平面EFG，则PE⊥AC．
∵ABCD是边长为2的正方形，∴$BD=2\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∵SO=2，OB=$\sqrt{2}$，∴$SB=\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，
∴GE=GF=$\frac{1}{2}$SB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴轨迹的周长为$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．