Question

4．已知A（3，$\sqrt{3}$），O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}-y≤0}\\{x-\sqrt{3}+0≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，设Z为$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影，则Z的取值范围是（　　）

• A． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• B． [-3，3]
• C． [-$\sqrt{3}$，3]
• D． [-3，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：设z表示向量$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$方向上的投影，
∴z=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y，
即y=-$\sqrt{3}$x+2z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=-$\sqrt{3}$x+2z，当y=-$\sqrt{3}$x+2z经过点B时直线y=-$\sqrt{3}$x+2z的截距最大，此时z最大，
当y=-$\sqrt{3}$x+2z经过点C（-2，0）时，直线的截距最小，此时z最小．此时z_min=$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y=0}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，即B（1，$\sqrt{3}$），
此时最大值z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故z的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．