Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1+{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由1-3^x≠0得x≠0，求得函数f（x）的定义域，由3^x=$\frac{f（x）-1}{f（x）+1}$＞0，求得f（x）的范围，可得f（x）的值域．
（Ⅱ）因为函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．

解答 解：（Ⅰ）由1-3^x≠0得x≠0，
故函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
由f（x）=$\frac{1+{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$，可得3^x=$\frac{f（x）-1}{f（x）+1}$＞0，
求得f（x）＞1，或f（x）＜-1，
f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（Ⅱ）f（x）为奇函数，理由如下：
因为函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且$f（-x）=\frac{{1+{3^{-x}}}}{{1-{3^{-x}}}}=\frac{{{3^x}+1}}{{{3^x}-1}}=-f（x）$，
所以，f（x）为奇函数．

点评 本题主要考查求函数的定义域和值域，函数的奇偶性的判断方法，属于中档题．