Question

14．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，且f（x）在[-3，-2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　）

• A． f（sinα）＞f（sinβ）
• B． f（cosα）＞f（cosβ）
• C． f（sinα）＞f（cosβ）
• D． f（sinα）＜f（cosβ）

Answer 1

分析 由条件f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$得到f（x）是周期为2的周期函数，由f（x）是定义在R上的偶函数，在[-3，-2]上是减函数，得到f（x）在[2，3]上是增函数，在[0，1]上是增函数，再由α，β是锐角三角形的两个内角，得到α＞90°-β，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，从而得到f（sinα）＞f（cosβ）．

解答 解：∵f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数．
∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），∵f（x）在[-3，-2]上是减函数，
∴在[2，3]上是增函数，∴在[0，1]上是增函数，∵α，β是锐角三角形的两个内角．
∴α+β＞90°，α＞90°-β，两边同取正弦得：sinα＞sin（90°-β）=cosβ，
且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故选：C．

点评 本题综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性．