Question

7．已知双曲线$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{a}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，则此双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{2}{\sqrt{a}}$x，由题意可得a=3，求出双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为$\sqrt{3}$，半焦距为$\sqrt{7}$，由离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{a}$=1（a＞0）的渐近线方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{a}$=0，
即为y=±$\frac{2}{\sqrt{a}}$x，
由渐近线方程为y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，可得：
$\frac{2}{\sqrt{a}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得a=3，
双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
即有双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为$\sqrt{3}$，
半焦距为$\sqrt{7}$，
可得双曲线的离心率为e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．