Question

6．已知函数f（x）=|2x+a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）+|x+1|-3≤0的解集；
（Ⅱ）若对?x∈[1，2]，f（x）＜x²+1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，不等式f（x）+|x+1|-3≤0，即为不等式|2x-1+|x+1|-3≤0，分类讨论求不等式f（x）+|x+1|-3≤0的解集；
（Ⅱ）若对?x∈[1，2]，f（x）＜x²+1恒成立，即?x∈[1，2]，|2x+a|＜x²+1恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 当a=-1时，不等式f（x）+|x+1|-3≤0，即为不等式|2x-1+|x+1|-3≤0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-3x-3≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-x-1≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{3x-3≤0}\end{array}\right.$，
解得：x∈∅或-1≤x≤$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜x≤1．
∴不等式|2x-1+|x+1|-3≤0的解集为[-1，1]．…（5分）
（Ⅱ）?x∈[1，2]，f（x）＜x²+1恒成立，即?x∈[1，2]，|2x+a|＜x²+1恒成立，
而-x²-1＜2x+a＜x²+1，
∴?x∈[1，2]，-x²-2x-1＜a＜x²-2x+1，恒成立，
设g（x）=-x²-2x-1，h（x）=x²-2x+1，
可转化为∴?x∈[1，2]，g（x）_max＜a＜h（x）_min，
∴-4＜a＜0，∴a的取值范围是（-4，0）．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．