Question

3．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+2）x²+（2a+1）x+1没有极值点，则实数a的取值范围是[0，4]．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次函数问题，结合判别式△≤0进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=x²+（a+2）x+（2a+1），为开口向上的抛物线，
若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+2）x²+（2a+1）x+1没有极值点，
则等价为f′（x）≥0恒成立，即判别式△=（a+2）²-4（2a+1）≤0，
即a²-4a≤0，得0≤a≤4，
故实数a的取值范围是[0，4]，
故答案为：[0，4]．

点评 本题主要考查函数极值和单调性的关系，求函数的导数，利用极值和导数之间的关系转化为判别式△的关系是解决本题的关键．