Question

19．若二项式（3x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中各项系数之和为256．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （1）根据二项式展开式中各项系数和求出n的值，再计算展开式中二项式系数的最大项；
（2）利用二项展开式的通项公式，即可求出展开式的常数项．

解答 解：（1）因为二项式（3x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中各项系数之和为256，
所以（3-1）ⁿ=256，
解得n=8；…（3分）
则该展开式中共有9项，第5项系数最大；
二项式系数最大项为T₅=${C}_{8}^{4}$•（3x）^8-4•${（\root{3}{x}）}^{4}$=5670${x}^{\frac{8}{3}}$；…（6分）
（2）二项展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（3x）^8-r•${（\root{3}{x}）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•3^8-r•${x}^{8-\frac{4}{3}r}$，
令8-$\frac{4}{3}$r=0，解得r=6；…（10分）
因此展开式的常数项为
T₇=${C}_{8}^{6}$•3^8-6=252．…（12分）

点评 本题考查了二项式展开式中各项系数和以及展开式中二项式系数、通项公式的应用问题，是基础题目．