Question

20．已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，若将△DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是$\sqrt{2}$；此时四面体F-ADP的外接球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知中矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E恰与BC上的点P重合．设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，我们利用勾股定理分别求出BP，PC，根据BC=BP+PC，可以得到 x，y的关系式，利用换元法结合二次函数的性质，可得答案．四面体F-ADP的外接球的球心为DF的中点，即可求出四面体F-ADP的外接球的半径．

解答 解：设FA=x（x＞1），AD=y，
∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$
在Rt△FAP中，AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$
∵BC=BP+PC=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=y
整理得y²=$\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}-1}$，令x²=$\frac{1}{t}$
则y²=$\frac{1}{-{t}^{2}+t}$，
则当t=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$时，y取最小值2．
四面体F-ADP的外接球的球心为DF的中点，DF=$\sqrt{2+4}$=$\sqrt{6}$，四面体F-ADP的外接球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是空间两点之间的距离计算，由于本题是几何与代数知识的综合应用，运算量比较大，而且得到的x，y的关系比较复杂，因此要用换元法，简单表达式．