Question

10．已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）²+y²=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）若直线l与点E的轨迹有两个不同的交点M和N，问点E的轨迹的右焦点F是否可以为△BMN的垂心？其中B为上顶点．若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，然后利用椭圆定义可得点E的轨迹为焦点在x轴上，2a=$2\sqrt{2}$，2c=2的椭圆，结合隐含条件求出b后可得椭圆方程；
（2）假设右焦点F为△BMN的垂心，由F（1，0），可得直线BF的斜率为-1，从而直线l的斜率为1，设其方程为y=x+m．联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，求出M，N的横坐标的和与积，再由$\overrightarrow{NF}•\overrightarrow{MB}=0$求得k值得答案．

解答 解：（1）如图，由题意可得|EC|+|EA|=|EC|+|EP|=$2\sqrt{2}$＞|AC|=2，
则由椭圆的定义可知点E的轨迹为焦点在x轴上，2a=$2\sqrt{2}$，2c=2的椭圆，
∴$a=\sqrt{2}，c=1，b=1$，
则椭圆E的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）假设右焦点F为△BMN的垂心，
∵F（1，0），∴直线BF的斜率为-1，从而直线l的斜率为1，设其方程为y=x+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=16m²-24（m²-1）=24-8m²＞0，得m²＜3．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}m，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
于是$\overrightarrow{NF}•\overrightarrow{BM}=（1-{x}_{2}）{x}_{1}-{y}_{2}（{y}_{1}-1）$=x₁+y₂-x₁x₂-y₁y₂=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=$-2{x}_{1}{x}_{2}+（1-m）（{x}_{1}+{x}_{2}）+m-{m}^{2}$=$-2•\frac{2{m}^{2}-2}{3}+（1-m）•（-\frac{4m}{3}）+m-{m}^{2}$=$-{m}^{2}-\frac{1}{3}m+\frac{4}{3}=0$，
解得m=1或m=$-\frac{4}{3}$．
当m=1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意；
当m=-$\frac{4}{3}$时，经检验直线l和椭圆相交，符合题意．
∴当且仅当直线l的方程为y=x-$\frac{4}{3}$时，点F是△BMN的垂心．

点评 本题考查利用椭圆的定义求椭圆的方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了利用向量数量积判断两直线的垂直关系，是中档题．