Question

19．已知F₁，F₂为椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF₁为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{3}$

Answer 1

分析 由△ABF₁为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠AF₁F₂=30^°，又∠F₁AF₂=90^°，可得AF₂，AF₁，利用椭圆的定义可得：c+$\sqrt{3}c$=2a，即可得出．

解答 解：由△ABF₁为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠AF₁F₂=30^°，

又∠F₁AF₂=90^°，
∴AF₂=c，AF₁=$\sqrt{3}$c，
∴c+$\sqrt{3}c$=2a，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．