Question

11．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}前20项的和S₂₀；
（2）求通项公式a_n；
（3）设{a_n}的前n项和为S_n，问：是否存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列和等比数列的前n项和公式计算即可．
（2）确定a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a₂，a₄，…，a_2n，…是首项为2，公比为3的等比数列，从而可得通项公式a_n；
（3）由（2）先求出S_2n，S_2n-1的表达式，若存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1，则m=$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{2n-1}}$≤3，再分类讨论，即可求得结论．

解答 解：（1）${S_{20}}=（1+3+5+…+19）+（2+2×3+2×{3^2}+…+2×{3^9}）={3^{10}}+99$
（2）当n是奇数时，cosnπ=-1；当n是偶数时，cosnπ=1．
所以，当n是奇数时，a_n+2=a_n+2；当n是偶数时，a_n+2=3a_n．
又a₁=1，a₂=2，所以a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首项为1，公差为2的等差数列；
a₂，a₄，…，a_2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．        
所以，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{2×{3}^{\frac{n}{2}-1}，n为偶数}\end{array}\right.$．          
（3）由（2），得S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=3ⁿ+n²-1，
S_2n-1=S_2n-a_2n=3ⁿ+n²-1-2×3^n-1=3^n-1+n²-1．        
所以，若存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1，
则m=$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{2n-1}}$=$\frac{{3}^{n}+{n}^{2}-1}{{3}^{n-1}+{n}^{2}-1}$=1+$\frac{2×{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}+{n}^{2}-1}$≤1+$\frac{2×{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$=3．
显然，当m=1时，S_2n=3ⁿ+n²-1≠1×3^n-1+n²-1=S_2n-1；
当m=2时，由S_2n=2S_2n-1，整理得3^n-1=n²-1．
显然，当n=1时，3^1-1≠1²-1；
当n=2时，3^2-1=2²-1，
所以（2，2）是符合条件的一个解．               
当n≥3时，3^n-1=（1+2）^n-1=1+C_n-1¹×2+C_n-1²×2²+…≥1+2C_n-1¹+4C_n-1²=2n²-1＞n²-1．     
当m=3时，由S_2n=3S_2n-1，整理得n=1，
所以（3，1）是符合条件的另一个解．
综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对．

点评 本题考查数列的通项，考查存在性问题的探究，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．