Question

7．已知函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB），求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由正弦定理和余弦定理，求出角C的值，得出A的取值范围，从而求得f（A）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；…（4分）
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理得：（a+c）（a-c）=b（a-b），…（8分）
∴c²=a²+b²-ab；
又由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，而C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$，∴A∈（0，$\frac{2π}{3}$），…（11分）
∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，π），
∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（A）的取值范围是（-$\sqrt{3}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．…（14分）

点评 本题考查了三角恒等变换与正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．