Question

9．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且c=2，C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于$\sqrt{3}$，求a，b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求锐角A的值．

Answer 1

分析 本题考查正弦定理，余弦定理以及任意三角形的面积公式
（Ⅰ）直接由余弦定理，任意三角形的面积公式，求出a，b．
（Ⅱ）利用三角形的内角和为π，可以消去C，从而利用两角和与差的公式即可解出A的值．

解答 解：（Ⅰ）∵c=2，C=$\frac{π}{3}$．由任意三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$absinc，
可得：ad=4
又由余弦定理：$4={a}^{2}+{b}^{2}-2abcos\frac{π}{3}={a}^{2}+{b}^{2}-ab$
联立$\left\{\begin{array}{l}{ab=4}\\{{a}^{2}+{b}^{2}-ab=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴a=2，b=2
（Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=2sin2A，A+B+C=π，
∴sin（π-A-B）+sin（B-A）=2sin2A
?sin（A+B）+sin（B-A）=2sinAcosA
?sinBcosA=2sinAcosA．
∵cosA≠0，
∴sinB=2sinA．
由正弦定理，可得：b=2a．
由余弦定理：$4={a}^{2}+{b}^{2}-2abcos\frac{π}{3}={a}^{2}+{b}^{2}-ab$
联立$\left\{\begin{array}{l}{b=2a}\\{{b}^{2}+{a}^{2}-ab=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$
∴sinA=$\frac{1}{2}$
又∵A是锐角．
∴A=$\frac{π}{6}$

点评 本题考查正弦定理，余弦定理以及任意三角形的面积公式，对公式的灵活运用及计算能力，属于基础题．