Question

5．f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，记a=$\frac{f（{2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$，b=$\frac{f（0．{2}^{2}）}{0．{2}^{2}}$，c=$\frac{f（lo{g}_{2}5）}{lo{g}_{2}5}$，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，得到g（x）在（0，+∞）递减，通过${log}_{2}^{5}$＞2^0.2＞0.2²，从而得出答案

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
又${log}_{2}^{5}$＞${log}_{2}^{4}$=2，1＜2^0.2＜2，0.2²=0.04，
∴${log}_{2}^{5}$＞2^0.2＞0.2²，
∴g（${log}_{2}^{5}$）＜g（2^0.2）＜g（0.2²），
∴c＜a＜b，
故答案为：c＜a＜b．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用，考查了指数，对数的性质，是一道中档题．