Question

17．已知点A，F分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点和右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，若$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-a²，则双曲线C的离心率为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由已知条件求出直线l的方程为：y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{ac}{b}$，与y=-$\frac{b}{a}$x联立，能求出P点坐标，将x=0带入直线l，能求出Q点坐标，由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-a²，由此入手能求出双曲线的离心率．

解答 解：∵A，F分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点、右焦点，
∴A（-a，0）F（c，0），
∵过F的直线l与C的一条渐近线垂直，
且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，
∴直线l的方程为：y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{ac}{b}$，
与y=-$\frac{b}{a}$x联立，解得P点（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，$\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}$）
将x=0代入直线l：y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{ac}{b}$，得Q（0，$\frac{ac}{b}$），
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-a²，∴（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$+a，$\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}$）•（a，$\frac{ac}{b}$）=-a²，
化简得3e²-e-4=0，
∴e=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，计算量较大，解题时要仔细解答，要熟练掌握双曲线的性质，是中档题．