Question

1．已知圆C的方程：x²+y²-2x-4y+a=0，a∈R．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若直线m：x-y-1=0与圆C交于点P，Q两点且|PQ|=2$\sqrt{2}$，求实数a的值；
（3）已知点O为坐标原点，平分圆C的面积的直线l分别与x，y轴的正半轴交于A，B两点，设使△AOB的面积为S的直线l恰有两条，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆的方程化为标准方程，即可求实数a的取值范围；
（2）若直线m：x-y-1=0与圆C交于点P，Q两点且|PQ|=2$\sqrt{2}$，可得圆的半径为2，即可求实数a的值；
（3）表示出面积S，利用方程根的讨论方法，即可求S的取值范围．

解答 解：（1）圆C的方程：x²+y²-2x-4y+a=0可化为（x-1）²+（y-2）²=5-a，
∴5-a＞0，
∴a＜5；
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵直线m：x-y-1=0与圆C交于点P，Q两点且|PQ|=2$\sqrt{2}$，
∴圆的半径为2，
∴5-a=4，
∴a=1；
（3）由题意，直线经过（1，2），设方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=1，∴a=$\frac{b}{b-2}$（b＞2），
∴S=$\frac{1}{2}ab$=$\frac{{b}^{2}}{2b-4}$，
∴b²-2bS+4S=0，
∵使△AOB的面积为S的直线l恰有两条，
∴△=4S²-16S＞0，S＞2且4-4S+4S＞0，
∴S＞4．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．