Question

1．如图，ABC-A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．
（1）求证：CN∥平面AB'M；
（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；
（2）在三角形ABC中，由余弦定理可得AC²，由AC²+BC²=AB²，得AC⊥CB，建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面AB′M与平面BCC′B′的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．

解答 （1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，
∵ABC-A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，
设AB′∩EN=F，连接FM，
则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．
又∵M为CC′的中点，
∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，
而MF?平面AB'M，CN?平面AB'M，
∴CN∥平面AB'M；
（2）解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cosB=2²+1²-2×2×1×cos60°=3．
∴AC²+BC²=AB²，则AC⊥CB．
建立如图所示空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（$\sqrt{3}，0，0$），B′（0，1，2），M（0，0，1），
∴$\overrightarrow{AB′}=（-\sqrt{3}，1，2）$，$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{3}，0，1）$，
设平面AB′M的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB′}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-\sqrt{3}x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}=（1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．
∵AC⊥平面BCC′B′，∴可取平面BCC′B′的一个法向量$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{7}×1}=\frac{\sqrt{7}}{7}$
∴平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．