Question

【题目】某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为S2 ， 折叠后重合部分△ACP的面积为S1 ．

（Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

（Ⅱ）求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？

（Ⅲ）求面积（S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？

Answer 1

【答案】（1）（2）当材料长为 ，宽为 时，S2最大．（3）当材料长为 ，宽为 时，S1+2S2最大

【解析】

试题分析：（1）设米，通过三角形全等以及勾股定，即可用表示图中的长度，并写出的取值范围；

（2）表示面积，利用基本不等式求解最大值，即可求得材料的长和宽的值；

（3）表示面积的表达式，利用导数求解函数的最值即可．

试题分析：

解：（Ⅰ）由题意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2

设DP=y，则PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，

由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2

即： .

（Ⅱ）记△ADP的面积为S2，则 ．

当且仅当 时，S2取得最大值．

故当材料长为 ，宽为 时，S2最大．

（Ⅲ）

于是令 ，∴

∴关于x的函数 在 上递增，在 上递减，

∴当 时，S1+2S2取得最大值．

故当材料长为 ，宽为 时，S1+2S2最大