Question

【题目】设函数，其中.

（1）讨论的极值点的个数；

（2）若，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

分析：（1）求函数的导数，再换元，令，对与分类讨论①②③④，即可得出函数的极值的情况.

（2）由（1）可知：当时，函数在为增函数，又所以满足条件；当时，因换元满足题意需在此区间，即；最后得到的取值范围.

详解：

（Ⅰ），设，则，

当时，，函数在为增函数，无极值点.

当时，，

若时， ，函数在为增函数，无极值点.

若时，设的两个不相等的正实数根，，且，

则

所以当，，单调递增；当，单调递减；

当， ，单调递增.因此此时函数有两个极值点；

同理当时的两个不相等的实数根，，且，

当，，单调递减，当，，单调递增；

所以函数只有一个极值点.

综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.

（Ⅱ）对于，

由（Ⅰ）知当时函数在上为增函数，由，所以成立.

若，设的两个不相等的正实数根，，

且，，∴.则若，成立，则要求，

即解得.此时在为增函数，，成立

若当时

令，显然不恒成立.

综上所述，的取值范围是.