Question

14．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=$\sqrt{x-1}$相切，则　该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，利用双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线相切，建立方程组，即可求得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∵双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x与曲线y=$\sqrt{x-1}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{{y}^{2}=x-1}\end{array}\right.$有唯一解，∴y²+$\frac{a}{b}$y+1=0有两相等的实根，
∴△=0，∴（$\frac{a}{b}$）²-4=0，则$\frac{a}{b}$=2，b=$\frac{1}{2}$a，
∴c²=a²+b²=$\frac{5}{4}$a²，∴c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查直线与曲线相切，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线的一条渐近线与曲线相切是关键利用判别式法是解决本题的关键．