Question

14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足（a-sinB）cosC=cosBsinC，c=1．
（Ⅰ）求∠C的大小；
（Ⅱ）求a²+b²的最大值，并求取得最大值时∠A，∠B的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换化简已知等式可得sinA=acosC，结合正弦定理，可得sinC=cosC，从而可求C．
（Ⅱ）由余弦定理整理可得${a}^{2}+{b}^{2}=1+\sqrt{2}ab$，利用基本不等式ab$≤\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，可得${a}^{2}+{b}^{2}≤1+\frac{\sqrt{2}}{2}（{a}^{2}+{b}^{2}）$，可求得${a}^{2}+{b}^{2}≤2+\sqrt{2}$，当且仅当a=b时取到等号，从而可求取得最大值时∠A，∠B的值．

解答 解：（Ⅰ）cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，
⇒sinA=acosC，…（3分）
∵$\frac{sinA}{a}=\frac{sinC}{c}=sinC$，所以sinC=cosC，所以C=$\frac{π}{4}$；…（7分）
（Ⅱ）∵a²+b²-c²=2abcosC，所以${a}^{2}+{b}^{2}=1+\sqrt{2}ab$①，…（9分）
∵ab$≤\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$②，
∴②代入①可得：${a}^{2}+{b}^{2}≤1+\frac{\sqrt{2}}{2}（{a}^{2}+{b}^{2}）$，
所以${a}^{2}+{b}^{2}≤2+\sqrt{2}$…（12分）
当且仅当a=b时取到等号，所以取到最大值时A=B=$\frac{3π}{8}$    …（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．