Question

（2009•长宁区一模）设A=

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann

，其中a_ik（1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₃=8，a₃₄=20．
（1）求a₁₁和a_ik；
（2）设数阵第i行的公差为d_i（i=1，2，…，n），f（n）=d₁+d₂+…+d_n，求f（n）；
（3）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，证明：当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．

Answer 1

分析：（1）设第一行的公差为d，则a_1k=a₁₁+（k-1）d，a_ik=[a₁₁+（k-1）d]•2^i-1，由a₂₃=8，a₃₄=20可知a₁₁和d的值，从而得到a_ik的值．
（2）先求数阵第i行的公差为d_i，再表示出f（n）=d₁+d₂+…+d_n，利用等比数列的求和公式可求；
（3）先表达出A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，再用错位相减法求和，从而可以证明当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．

解答：解：（1）因为每一列的数是公比为2的等比数列，a₂₃=8，a₃₄=20，所以a₁₃=4，a₁₄=5，（2分）
故第一行的公差为d₁=1．∴a₁₁=2，（3分）
a_1k=k+1，（4分）
因此a_ik=（k+1）•2^i-1．           （5分）
（2）d_i=a_i（k+1）-a_ik=（k+2）•2^i-1-（k+1）•2^i-1=2^i-1（8分）
∴d1+d2+…+dn=

1-2n

1-2

=2n-1（10分）
（3）A_n=（n+1）+n•2+（n-1）•2²+…+2•2^n-1，（11分）
2•A_n=（n+1）•2+n•2²+…+3•2^n-1+2•2ⁿ
上面两式相减得：A_n=-（n+1）+2+2²+…+2^n-1+2•2ⁿ（13分）
=-(n+1)+

2(1-2n)

1-2

+2n=3•2n-n-3∴A_n+n=3（2ⁿ-1）（14分）
当n=3k，（k∈N^*）时A_n+n=3（8^k-1）=3[（7+1）^k-1]=3（C_k⁰7^k+…+C_k^k-17）=21（C_k⁰7^k-1+…+C_k^k-1），（17分）
因为C_k⁰7^k-1+…+C_k^k-1为整数，所以A_n+n能被21整除．（18分）

点评：本题的考点是等差数列与等比数列的综合运用，主要考查考查数列的性质和应用，解题时要注意错位相减法和分类讨论法的合理运用．