Question

19．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤2}\\{x-y≥-1}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$，则z=x²+y²的范围是（　　）

• A． [1，5]
• B． [1，25]
• C． [$\frac{1}{2}$，25]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，5]

Answer 1

分析 先画出满足条件的平面区域，再根据z=x²+y²的几何意义从而求出其范围．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=2}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$，解得：A（3，4），
而z=x²+y²的几何意义表示平面区域内的点到（0，0）的距离的平方，
由图象得平面区域内的A（3，4）到原点的距离最大，
∴z_最大值=25，
设原点到直线x+y=1的距离为d，
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即z_最小值=$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查z=x²+y²的几何意义及点到直线的距离，本题是一道中档题．