Question

20．关于二项式（x-1）¹⁹⁹⁹有下列四个命题，
①该二项展开中非常数项的系数和为1
②该二项展开式中系数最大的项是第1000项
③该二项展开式中第6项为C$\stackrel{6}{1999}$X¹⁹⁹³
④当x=2000时，（x-1）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1999，
其中正确的序号是①④．

Answer 1

分析 关于二项式（x-1）¹⁹⁹⁹有下列四个命题，
①令x=1，可得该二项展开中非常数项的系数和=（1-1）¹⁹⁹⁹-（-1）¹⁹⁹⁹，即可判断出正误；
②令通项公式T_r+1=${∁}_{1999}^{r}{x}^{1999-r}（-1）^{r}$，则T₁₀₀₀=$-{∁}_{1999}^{999}{x}^{1000}$，T₁₀₀₁=${∁}_{1999}^{1000}{x}^{999}$，即可得出该二项展开式中系数最大的项是第1001项．
③该二项展开式中第6项为${∁}_{1999}^{5}{x}^{1994}（-1）^{5}$，即可判断出正误；
④当x=2000时，（x-1）¹⁹⁹⁹=2000¹⁹⁹⁹-${∁}_{1999}^{1}200{0}^{1998}$+…-${∁}_{1999}^{1997}200{0}^{2}$+${∁}_{1999}^{1998}2000$-1=2000M+1999×2000-1=2000M+1998×2000+1999（其中M为正整数），即可判断出正误．

解答 解：关于二项式（x-1）¹⁹⁹⁹有下列四个命题，
①令x=1，可得该二项展开中非常数项的系数和=（1-1）¹⁹⁹⁹-（-1）¹⁹⁹⁹=1，正确；
②令通项公式T_r+1=${∁}_{1999}^{r}{x}^{1999-r}（-1）^{r}$，则T₁₀₀₀=$-{∁}_{1999}^{999}{x}^{1000}$，T₁₀₀₁=${∁}_{1999}^{1000}{x}^{999}$，可知：该二项展开式中二项式系数最大的项是第1000项与第1001项，而该二项展开式中系数最大的项是第1001项，因此不正确．
③该二项展开式中第6项为${∁}_{1999}^{5}{x}^{1994}（-1）^{5}$，而不是${∁}_{1999}^{6}$X¹⁹⁹³，因此不正确；
④当x=2000时，（x-1）¹⁹⁹⁹=2000¹⁹⁹⁹-${∁}_{1999}^{1}200{0}^{1998}$+…-${∁}_{1999}^{1997}200{0}^{2}$+${∁}_{1999}^{1998}2000$-1=2000M+1999×2000-1
=2000M+1998×2000+1999（其中M为正整数），∴当x=2000时，（x-1）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1999，正确．
其中正确的序号是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．