Question

17．若向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），且存在实数x，y，使得$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}$，则$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$可以是（　　）

• A． $\overrightarrow{{e}_{1}}$=（0，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（-1，2）
• B． $\overrightarrow{{e}_{1}}$=（-1，3），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（2，-6）
• C． $\overrightarrow{{e}_{1}}$=（-1，2），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（3，-1）
• D． $\overrightarrow{{e}_{1}}$=（-$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，-2）

Answer 1

分析 由平面向量基本定理便知，$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，这样根据共面向量基本定理容易判断A，B，D中的向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$共线，而根据共线向量的坐标关系可判断C中的$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，从而便得出正确选项为C．

解答 解：根据平面向量基本定理知：
$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线；
A.$\overrightarrow{{e}_{1}}=0\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$共线；
B.$\overrightarrow{{e}_{2}}=-2\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$共线；
C.$\overrightarrow{{e}_{1}}=（-1，2），\overrightarrow{{e}_{2}}=（3，-1）$，∴-1×（-1）-2×3=-5≠0，∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，即该选项正确；
D.$\overrightarrow{{e}_{2}}=-2\overrightarrow{{e}_{1}}$，∴$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$共线．
故选：C．

点评 考查共面向量基本定理，平面向量基本定理：$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{λ}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中要求$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，以及共线向量的坐标关系．