Question

已知一元二次方程f（x）=ax²-（a+2）x+1，且函数f（x）在（-2，-1）上恰好有零点，则不等式f（x）＜1的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得 

a＜0 f(-1)=2a+3＞0 f(-2)=6a+5＜0

，求得a的范围．不等式f（x）＜1，即x（x-a-2）＞0，结合据

a+2

a

＜0，求得不等式的解集．

解答： 解：当a＞0时，对称轴为x=

a+2

2a

＞0，f（0）=1，
不满足条件，故有a＜0．
此时，f（0）=1＞0，a＜0，
可得函数f（x）在（-2，-1）上只能有一个零点．
∴

a＜0 f(-1)=2a+3＞0 f(-2)=6a+5＜0

，解得-

3

2

＜a＜-

5

6

，
此时对称轴为x=

a+2

2a

＜0．
∴不等式f（x）＜1，即 x（ax-a-2）＜0，
即 x（x-

a+2

a

）＞0．
再根据

a+2

a

＜0，解得 x＜

a+2

a

，或 x＞0，
故不等式的解集为（-∞，

a+2

a

）∪（0，+∞），
故答案为：（-∞，

a+2

a

）∪（0，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，属于基础题．