Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2，对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,导数的综合应用

分析：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，可化为a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+

2

x

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，即a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+

2

x

，
则F′（x）=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，
因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F_min（x）=F（x）=3，
∴a≤3．
故答案为：（-∞，3]

点评：该题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．