Question

已知椭圆

y2

5

+x²=1与抛物线x²=ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）

• A、2

  13

• B、4

  2

• C、3

  13

• D、4

  6

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．

解答： 解：∵椭圆

y2

5

+x²=1，∴c²=5-1=4，即c=2，则椭圆的焦点为（0，±2），
不妨取焦点（0，2），
∵抛物线x²=ay=4（

a

4

）y，
∴抛物线的焦点坐标为（0，

a

4

），
∵椭圆

y2

5

+x²=1与抛物线x²=ay有相同的焦点F，
∴

a

4

=2，即a=8，则抛物线方程为x²=8y，准线方程为y=-2，
∵|AF|=4，由抛物线的定义得，
∴A到准线的距离为4，y+2=4，
即A点的纵坐标y=2，
又点A在抛物线上，
∴x=±4，不妨取点A的坐标A（4，2）；
A关于准线的对称点的坐标为B（4，-6）
则|PA|+|PO|=|PB|+|PO|≥|OB|，
即O，P，B三点共线时，有最小值，
最小值为|AB|=

42+(-6)2

=

16+36

=

52

=2

13

．
故选：A

点评：本题主要考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．