Question

3．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，要求：
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

Answer 1

分析 （1）4个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个歌唱节目排列，形成6个位置，选4个把舞蹈节目排列，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，要求歌唱节目与舞蹈节目间隔排列，先把5个歌唱节目排列，不包含两端形成4个位置，把4个把舞蹈节目插入．由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、将5个歌唱节目全排列，有A₅⁵种排列方法，排好后有6个空位，
②、在6个空位中，任选4个，安排4个舞蹈节目，有A₆⁴种排列方法，
则一共有$A_5^5A_6^4=43200$种不同的安排方法；
（2）根据题意，要求歌唱节目与舞蹈节目间隔排列，
分2步进行分析：
①、先把5个歌唱节目排好，有A₅⁵种排列方法，排好后除去两端有4个空位，
②、在4个可选的空位中，安排4个舞蹈节目，有A₄⁴种排列方法，
则一共有$A_5^5A_4^4=2880$种不同的安排方法．

点评 本题考查排列组合的应用，均涉及不相邻问题，注意不相邻问题宜采用插空．